猫眼电影记者 张瑾娴 报道首次登录送91元红包

机器之心报道

机器之心编辑部

刚刚，Erdos 问题 #124 的一个弱化版本被证明。

这个问题自 1984 年在《算术杂志》上发表的论文 「整数幂集的完备序列」 中提出以来，近 30 年一直悬而未决

证明该问题的是普林斯顿大学数学博士 Boris Alexeev ，使用了来自 Harmonic 的数学 AI 智能体 Aristotle运行了这个问题，智能体最近更新了更强的推理能力和自然语言界面。

关于该问题的一些报道都声称AI独立解决了该问题的完整版本，事实却并非如此，产生了很多争议。Boris Alexeev 为此进行了修正：

在 Formal Conjectures 项目中，该猜想有一个正式声明。不幸的是，该声明中有一个拼写错误，其中注释在显示式方程中显示为 「≥1」 ，而相应的 Lean 声明为 「= 1」。（这使得声明变弱了。）因此，我也修正了这个问题，并包含了对修正后声明的证明。最后，我删除了我认为是不必要的声明方面，Aristotle 也证明了这一点。正如 DesmondWeisenberg 所提到的，存在一个涉及幂次 1（这里对应个位数）的问题，这意味着 [BEGL96] 中的猜想与此不同。我相信 [Er97] 中的版本与这里的陈述相符，部分原因在于它缺少 [BEGL96] 中明显必要的最大公约数条件。我目前无法获取 [Er97e] 来检查其中的陈述。考虑到Aristotle 的成就，这个问题如此微妙，实在不幸！

尽管如此，数学智能体独立地证明了 Erdos 问题#124的较简单版本，仍然表现了令人惊讶的数学证明能力。

Erdos 问题 #124 内容如下图所示，由于该证明存在微妙的错误，目前仍是一个开放问题。

Erdos 问题 #124 链接：https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124

数学 AI 智能体 Aristotle 是一个一个用于自动形式化和形式验证的 API。根据 Harmonic 的介绍，其具备利用 IMO 金牌级引擎解决最复杂的推理问题的能力；可以自动将英语陈述和证明转换为经过验证的 Lean4 证明；能够无缝集成到项目中，自动利用用户的整个定理库和定义、依赖项以及 Mathlib。

Aristotle 链接：https://aristotle.harmonic.fun/

在 Erdos 问题 #124 的讨论中，tsaf 简要介绍了 Aristotle 针对该问题的证明方法，称其「出奇的简单」

有关详细的证明过程，感兴趣的读者可以参考：

https://github.com/plby/lean-proofs/blob/main/ErdosProblems/Erdos124.md

对于 AI 独立进行完整的数学难题的证明，陶哲轩进行了深度的关注。在该问题下，也能看到他的评论。

陶哲轩对于 AI 工具在数学领域的观点仍然一以贯之，他认为像许多其他真实世界中的分布一样，数学中的未解决问题也呈现出典型的「长尾」结构

在数学的未解决问题中有很多没有得到关注的相对容易的问题，借助人工智能的强大自动化能力和推理能力去规模化地尝试攻克这些问题，就会有许多「低垂的果实」唾手可得。

陶哲轩在去年运行 Equational Theories Project 时亲眼见证了这一点。

这个项目攻击了普遍代数中 2200 万个蕴含式。利用简单的自动化方法的最初几轮扫描，在几天内就解决了其中相当大的一部分；随后又使用越来越复杂的方法，逐步攻克那些在早期扫描中顽固抵抗的剩余实例。最后的少数几个蕴含式则花费了数月的人类努力才最终解决。

陶哲轩在这个项目中取得了大规模自动化数学研究的宝贵经验，他以个人日志的形式完整记录了研究的详细过程，方法，结果和个人的思考。

日志链接：https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Terence-Tao's-personal-log

Erdos 问题网站也是类似的例子。该网站目前收录了 1108 个在至少一篇埃尔德什论文中提出过的问题；其中当然包含一些极其困难的经典难题，但也有大量更偏门的问题，甚至连 Erdos 本人都没怎么关注过。

与 Equational Theories 的经验类似，陶哲轩现在也开始采用自动化方法，集中清理掉最底层的「低垂果实」。

几周前，网站上一批仍被标注为未解决的问题突然被划为「已解决」：AI 驱动的文献搜索工具发现，它们的解答其实早已存在于文献中。正在研究这些问题的数学家们也结合使用 AI 工具和形式化证明助手，来用 Lean 验证已有证明、生成这些问题关联的整数序列项，或补全某些方案中缺失的推理步骤。

陶哲轩认为，Erdos 问题#124的证明属于另一类「低垂果实」，是由于描述中的技术性疏漏，而变得意外容易解决的问题。

具体来说，Erdos 问题 #124 在三篇论文中被提出过，但其中两篇漏掉了一个关键假设，导致问题在那两种表述下直接成为一个已知结果（Brown 判别法）的推论。然而，这一点直到 Boris Alexeev 使用 Aristotle 工具处理该问题时才被发现。Aristotle 在数小时内就自主找到并（用 Lean）形式化了该弱化版本的解答。

目前，研究者正系统性地扫描网站上的剩余问题，以寻找更多类似的误述或快速的解决方法。这些努力短期内仍主要集中在「长尾」的最末端。

然而，这已经显示出自动化工具能力的不断增强，并在另一层面上帮助了研究这些问题的人类数学家：通过清除最容易的部分，使真正困难的问题更加清晰地呈现出来。

或许，从 AI 能够独立解决数学问题开始，我们就已站在数学领域深刻变革的边缘。

数学领域 Vibe 证明的时代已经悄然而至。

  时事1：世界杯体育买球官网

  12月08日,香港宏福苑火灾已致128死83伤,对西北城市来说，机场的作用尤为重要。西北不沿海，也没有内河航运。依托铁路和机场打造枢纽，形成开放门户，无论对区域还是全国而言，都具有经济与战略的双重意义。,茗彩登录地址。

  12月08日,今年前10个月我国交通运输经济运行稳中有进,随着参与网球运动的人逐渐增多，中国网球的基础设施也在不断完善。纪宁告诉《环球时报》记者：“我们在做一个项目，在北京朝阳区规划一个‘大满贯网球文化公园’，将汇集所有大满贯要素。人们既能在此观看全球顶级赛事，也能在场地上训练和比赛。”纪宁说，这仅是一个案例，但从中可以窥见中国网球运动基础设施越来越完善，也越来越专业化。作为体育产业的参与者与观察者，纪宁表示，不仅北京，全国各地网球运动设施也发展得越来越好。,澳门十大正规平台网站,lol外围官网,老葡京平台网。

  时事2：胜博发登陆

  12月08日,当“锅铲”走进大学：烹饪课不止“抡大勺”,乌鲁木齐不缺国际和地区航线。2024年，乌鲁木齐机场累计运营定期客货运输航线共240条。其中，国际定期客运航线26条，与高加索地区三国与中亚五国实现全部通航，通航中亚航点数量为国内十大枢纽机场之首。,必胜亚洲,澳门威斯尼下载app,千赢国际手机官网app下载。

  12月08日,“十四五”期间长春现代化大农业发展实现多点突破,张先生认为，网球明星的出现与整个网球运动以及网球经济的发展是相互促进的，并形成正向反馈。他说，明星越多，示范效应就越强，就会更加刺激网球运动的发展，网球经济热度也会越高。而打网球的人多了，就会涌现出更多的网球明星。,ROR网址,万赢国际教育,888集团官网。

  时事3：网投哪个平台放心最好

  12月08日,香港大埔火灾已致151人遇难 30多人失联,国家体育总局体育文化与体育宣传发展战略研究中心高端智库骨干专家、广州体育学院教授曾文莉告诉《环球时报》记者，体育具有较强的杠杆效应，以体育赛事表演为杠杆，能撬动城市基建、旅游、文化等，激活体育消费热情，推动体育产业能级提升，而这个杠杆的原动力主要是运动员尤其是明星运动员。,德州风云,盛世登录网址,奔驰宝马跑车游戏。

  12月08日,山西襄垣：便民食堂“烹出”家门口的幸福滋味,曾文莉认为，在职业选手商业价值充分释放后，其成功效应才会吸引更多的人群尤其是青少年从事网球运动，而这是中国网球经济发展的根基。,bet365赌场网站,炸金花九张牌,申博在线开户。

  时事4：中超买球网站

  12月08日,香港沙田消防局降半旗致哀殉职消防员 民众前往吊唁点哀悼罹难者,体量不及西安的兰州，也拿出大手笔。T3航站楼面积40万平方米，综合交通中心27万平方米，是甘肃民航发展史上规模最大的工程。,双色球可以网上投注,365体育比分,亚新注册。

  12月08日,关注呼吸道传染病防控：全国流感进入中流行水平 各地积极应对,坚持问题导向，勇于担当作为，通过健全组织、管理等各项工作机制，推动艺术创作生产；,体育彩票bobapp,伟德体育官网是多少,滚球体育投注 世界杯。