猫眼电影记者 孙章 报道首次登录送91元红包

机器之心报道

机器之心编辑部

刚刚，Erdos 问题 #124 的一个弱化版本被证明。

这个问题自 1984 年在《算术杂志》上发表的论文 「整数幂集的完备序列」 中提出以来，近 30 年一直悬而未决

证明该问题的是普林斯顿大学数学博士 Boris Alexeev ，使用了来自 Harmonic 的数学 AI 智能体 Aristotle运行了这个问题，智能体最近更新了更强的推理能力和自然语言界面。

关于该问题的一些报道都声称AI独立解决了该问题的完整版本，事实却并非如此，产生了很多争议。Boris Alexeev 为此进行了修正：

在 Formal Conjectures 项目中，该猜想有一个正式声明。不幸的是，该声明中有一个拼写错误，其中注释在显示式方程中显示为 「≥1」 ，而相应的 Lean 声明为 「= 1」。（这使得声明变弱了。）因此，我也修正了这个问题，并包含了对修正后声明的证明。最后，我删除了我认为是不必要的声明方面，Aristotle 也证明了这一点。正如 DesmondWeisenberg 所提到的，存在一个涉及幂次 1（这里对应个位数）的问题，这意味着 [BEGL96] 中的猜想与此不同。我相信 [Er97] 中的版本与这里的陈述相符，部分原因在于它缺少 [BEGL96] 中明显必要的最大公约数条件。我目前无法获取 [Er97e] 来检查其中的陈述。考虑到Aristotle 的成就，这个问题如此微妙，实在不幸！

尽管如此，数学智能体独立地证明了 Erdos 问题#124的较简单版本，仍然表现了令人惊讶的数学证明能力。

Erdos 问题 #124 内容如下图所示，由于该证明存在微妙的错误，目前仍是一个开放问题。

Erdos 问题 #124 链接：https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124

数学 AI 智能体 Aristotle 是一个一个用于自动形式化和形式验证的 API。根据 Harmonic 的介绍，其具备利用 IMO 金牌级引擎解决最复杂的推理问题的能力；可以自动将英语陈述和证明转换为经过验证的 Lean4 证明；能够无缝集成到项目中，自动利用用户的整个定理库和定义、依赖项以及 Mathlib。

Aristotle 链接：https://aristotle.harmonic.fun/

在 Erdos 问题 #124 的讨论中，tsaf 简要介绍了 Aristotle 针对该问题的证明方法，称其「出奇的简单」

有关详细的证明过程，感兴趣的读者可以参考：

https://github.com/plby/lean-proofs/blob/main/ErdosProblems/Erdos124.md

对于 AI 独立进行完整的数学难题的证明，陶哲轩进行了深度的关注。在该问题下，也能看到他的评论。

陶哲轩对于 AI 工具在数学领域的观点仍然一以贯之，他认为像许多其他真实世界中的分布一样，数学中的未解决问题也呈现出典型的「长尾」结构

在数学的未解决问题中有很多没有得到关注的相对容易的问题，借助人工智能的强大自动化能力和推理能力去规模化地尝试攻克这些问题，就会有许多「低垂的果实」唾手可得。

陶哲轩在去年运行 Equational Theories Project 时亲眼见证了这一点。

这个项目攻击了普遍代数中 2200 万个蕴含式。利用简单的自动化方法的最初几轮扫描，在几天内就解决了其中相当大的一部分；随后又使用越来越复杂的方法，逐步攻克那些在早期扫描中顽固抵抗的剩余实例。最后的少数几个蕴含式则花费了数月的人类努力才最终解决。

陶哲轩在这个项目中取得了大规模自动化数学研究的宝贵经验，他以个人日志的形式完整记录了研究的详细过程，方法，结果和个人的思考。

日志链接：https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Terence-Tao's-personal-log

Erdos 问题网站也是类似的例子。该网站目前收录了 1108 个在至少一篇埃尔德什论文中提出过的问题；其中当然包含一些极其困难的经典难题，但也有大量更偏门的问题，甚至连 Erdos 本人都没怎么关注过。

与 Equational Theories 的经验类似，陶哲轩现在也开始采用自动化方法，集中清理掉最底层的「低垂果实」。

几周前，网站上一批仍被标注为未解决的问题突然被划为「已解决」：AI 驱动的文献搜索工具发现，它们的解答其实早已存在于文献中。正在研究这些问题的数学家们也结合使用 AI 工具和形式化证明助手，来用 Lean 验证已有证明、生成这些问题关联的整数序列项，或补全某些方案中缺失的推理步骤。

陶哲轩认为，Erdos 问题#124的证明属于另一类「低垂果实」，是由于描述中的技术性疏漏，而变得意外容易解决的问题。

具体来说，Erdos 问题 #124 在三篇论文中被提出过，但其中两篇漏掉了一个关键假设，导致问题在那两种表述下直接成为一个已知结果（Brown 判别法）的推论。然而，这一点直到 Boris Alexeev 使用 Aristotle 工具处理该问题时才被发现。Aristotle 在数小时内就自主找到并（用 Lean）形式化了该弱化版本的解答。

目前，研究者正系统性地扫描网站上的剩余问题，以寻找更多类似的误述或快速的解决方法。这些努力短期内仍主要集中在「长尾」的最末端。

然而，这已经显示出自动化工具能力的不断增强，并在另一层面上帮助了研究这些问题的人类数学家：通过清除最容易的部分，使真正困难的问题更加清晰地呈现出来。

或许，从 AI 能够独立解决数学问题开始，我们就已站在数学领域深刻变革的边缘。

数学领域 Vibe 证明的时代已经悄然而至。

  时事1：庄闲和网址

  12月03日,新版中俄双边投资协定于12月1日正式生效,“实际上就是‘打样’。”李瀚明认为，国泰开航证明了乌鲁木齐机场具备保障顶级航司的能力，会产生示范效应。国泰飞得好，其他国际顶级航司，以及东亚、东南亚的航司都会考虑跟进。除了证明机场的保障能力，也是新疆以此为契机，对外释放开放活力的强烈信号。,网赌官网中心。

  12月03日,上海：打造冬季商业消费场景,新疆机场集团总经理吕辉斌表示，国泰航空开通乌鲁木齐至香港航线，标志着乌鲁木齐天山国际机场的航线网络又一次升级，满足了新疆及周边地区旅客日益增长的出行需求，不仅提升了乌鲁木齐机场的国际化水平，也将进一步增强新疆的区位优势和影响力，共同助力打造乌鲁木齐成为连接亚欧区域门户复合型国际航空枢纽目标。,伟德BETVlCTOR软件,乐鱼app综合下载,和记娱乐网址。

  时事2：澳门app下载官网链接

  12月03日,“清华大学美术学院理论研究中心”正式成立,在会见国泰集团行政总裁林绍波时，自治区党委书记马兴瑞表示，希望国泰集团发挥优势，和新疆共同运行好直航航线，不断提升吸引力和可持续性。着眼更大范围、更宽领域拓展双方互利合作，助力新疆经济社会加快发展，打造亚欧黄金通道和向西开放桥头堡。用好新疆区位优势，积极开拓中亚等区域市场，实现更大发展。,新澳门游戏网站,爱游戏体育首页,街机棋牌游戏。

  12月03日,公交车变寻亲信息栏 重庆一公交线路张贴失踪儿童信息助寻亲,2013年，早在“一带一路”倡议提出时，对新疆的定位是：丝绸之路经济带上重要的交通枢纽、商贸物流和文化科教中心，打造丝绸之路经济带核心区。对陕西、甘肃、宁夏、青海的定位则为：面向中亚、南亚、西亚国家的通道、商贸物流枢纽、重要产业和人文交流基地。,大发app国际官方下载,棋牌平台游戏大厅,360娱乐。

  时事3：leyu乐鱼体育APP

  12月03日,（文化中国行）《唐朝诡事录之长安》热播 影视作品与文物IP联动助推文化传播,4月2日，走过86年历史的乌鲁木齐机场迎来更名，“天山机场”取代了沿用已久的“地窝堡机场”。,体育下载地址,皇冠真人平台,沙巴体育即时比分。

  12月03日,陕西：“一县一策”激活发展动能,中国煤矿文工团成立于1947年东北解放区，是国家级艺术院团中历史最悠久的单位之一。2005年，加挂了“中国安全生产艺术团”的牌子。2018年9月，转隶到文化和旅游部。,正规世界杯投注app,betvlctor伟德官方,亚新体育网页版。

  时事4：万博网页版man手机版

  12月03日,青海首个24小时数智零工驿站在西宁投运 实现"指尖接单"促就业,反观乌鲁木齐，偏居西北一隅的位置，为向西开放提供了便利。李瀚明指出，与乌鲁木齐类似的其实是哈萨克斯坦阿拉木图，两座城市都位于亚欧航路的中间点。利用空客A321XLR这样的远程窄体机，阿拉木图成功开航伦敦。在国内，乌鲁木齐是唯一一个用窄体机能直飞欧洲的航空枢纽。,bb新体育网址,纵横天下A,世界杯足球买球平台。

  12月03日,世卫组织发布新型减肥药物使用指南,李瀚明进一步分析，西安接近中国的几何中心，这样的地理位置飞国内任何地方都很便利。加上西安产业发达，又是旅游胜地，这些因素让西安国内客流常年处于高位，间接影响了打造国际枢纽的必要性。此外，也是因为接近国内几何中心，西安无论哪个方向的洲际航线，都得使用宽体机。二线枢纽用宽体机飞国际线，往往存在客流不足、上座率不高的情况。,财神捕鱼老版本,世界杯投注金额查询,必博309体育。