猫眼电影记者 韦小宝 报道首次登录送91元红包

机器之心报道

机器之心编辑部

刚刚，Erdos 问题 #124 的一个弱化版本被证明。

这个问题自 1984 年在《算术杂志》上发表的论文 「整数幂集的完备序列」 中提出以来，近 30 年一直悬而未决

证明该问题的是普林斯顿大学数学博士 Boris Alexeev ，使用了来自 Harmonic 的数学 AI 智能体 Aristotle运行了这个问题，智能体最近更新了更强的推理能力和自然语言界面。

关于该问题的一些报道都声称AI独立解决了该问题的完整版本，事实却并非如此，产生了很多争议。Boris Alexeev 为此进行了修正：

在 Formal Conjectures 项目中，该猜想有一个正式声明。不幸的是，该声明中有一个拼写错误，其中注释在显示式方程中显示为 「≥1」 ，而相应的 Lean 声明为 「= 1」。（这使得声明变弱了。）因此，我也修正了这个问题，并包含了对修正后声明的证明。最后，我删除了我认为是不必要的声明方面，Aristotle 也证明了这一点。正如 DesmondWeisenberg 所提到的，存在一个涉及幂次 1（这里对应个位数）的问题，这意味着 [BEGL96] 中的猜想与此不同。我相信 [Er97] 中的版本与这里的陈述相符，部分原因在于它缺少 [BEGL96] 中明显必要的最大公约数条件。我目前无法获取 [Er97e] 来检查其中的陈述。考虑到Aristotle 的成就，这个问题如此微妙，实在不幸！

尽管如此，数学智能体独立地证明了 Erdos 问题#124的较简单版本，仍然表现了令人惊讶的数学证明能力。

Erdos 问题 #124 内容如下图所示，由于该证明存在微妙的错误，目前仍是一个开放问题。

Erdos 问题 #124 链接：https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124

数学 AI 智能体 Aristotle 是一个一个用于自动形式化和形式验证的 API。根据 Harmonic 的介绍，其具备利用 IMO 金牌级引擎解决最复杂的推理问题的能力；可以自动将英语陈述和证明转换为经过验证的 Lean4 证明；能够无缝集成到项目中，自动利用用户的整个定理库和定义、依赖项以及 Mathlib。

Aristotle 链接：https://aristotle.harmonic.fun/

在 Erdos 问题 #124 的讨论中，tsaf 简要介绍了 Aristotle 针对该问题的证明方法，称其「出奇的简单」

有关详细的证明过程，感兴趣的读者可以参考：

https://github.com/plby/lean-proofs/blob/main/ErdosProblems/Erdos124.md

对于 AI 独立进行完整的数学难题的证明，陶哲轩进行了深度的关注。在该问题下，也能看到他的评论。

陶哲轩对于 AI 工具在数学领域的观点仍然一以贯之，他认为像许多其他真实世界中的分布一样，数学中的未解决问题也呈现出典型的「长尾」结构

在数学的未解决问题中有很多没有得到关注的相对容易的问题，借助人工智能的强大自动化能力和推理能力去规模化地尝试攻克这些问题，就会有许多「低垂的果实」唾手可得。

陶哲轩在去年运行 Equational Theories Project 时亲眼见证了这一点。

这个项目攻击了普遍代数中 2200 万个蕴含式。利用简单的自动化方法的最初几轮扫描，在几天内就解决了其中相当大的一部分；随后又使用越来越复杂的方法，逐步攻克那些在早期扫描中顽固抵抗的剩余实例。最后的少数几个蕴含式则花费了数月的人类努力才最终解决。

陶哲轩在这个项目中取得了大规模自动化数学研究的宝贵经验，他以个人日志的形式完整记录了研究的详细过程，方法，结果和个人的思考。

日志链接：https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Terence-Tao's-personal-log

Erdos 问题网站也是类似的例子。该网站目前收录了 1108 个在至少一篇埃尔德什论文中提出过的问题；其中当然包含一些极其困难的经典难题，但也有大量更偏门的问题，甚至连 Erdos 本人都没怎么关注过。

与 Equational Theories 的经验类似，陶哲轩现在也开始采用自动化方法，集中清理掉最底层的「低垂果实」。

几周前，网站上一批仍被标注为未解决的问题突然被划为「已解决」：AI 驱动的文献搜索工具发现，它们的解答其实早已存在于文献中。正在研究这些问题的数学家们也结合使用 AI 工具和形式化证明助手，来用 Lean 验证已有证明、生成这些问题关联的整数序列项，或补全某些方案中缺失的推理步骤。

陶哲轩认为，Erdos 问题#124的证明属于另一类「低垂果实」，是由于描述中的技术性疏漏，而变得意外容易解决的问题。

具体来说，Erdos 问题 #124 在三篇论文中被提出过，但其中两篇漏掉了一个关键假设，导致问题在那两种表述下直接成为一个已知结果（Brown 判别法）的推论。然而，这一点直到 Boris Alexeev 使用 Aristotle 工具处理该问题时才被发现。Aristotle 在数小时内就自主找到并（用 Lean）形式化了该弱化版本的解答。

目前，研究者正系统性地扫描网站上的剩余问题，以寻找更多类似的误述或快速的解决方法。这些努力短期内仍主要集中在「长尾」的最末端。

然而，这已经显示出自动化工具能力的不断增强，并在另一层面上帮助了研究这些问题的人类数学家：通过清除最容易的部分，使真正困难的问题更加清晰地呈现出来。

或许，从 AI 能够独立解决数学问题开始，我们就已站在数学领域深刻变革的边缘。

数学领域 Vibe 证明的时代已经悄然而至。

  时事1：凯发娱乐平台网页版

  12月03日,青藏联动报道｜“绿进沙退”雅江展新颜,在会见国泰集团行政总裁林绍波时，自治区党委书记马兴瑞表示，希望国泰集团发挥优势，和新疆共同运行好直航航线，不断提升吸引力和可持续性。着眼更大范围、更宽领域拓展双方互利合作，助力新疆经济社会加快发展，打造亚欧黄金通道和向西开放桥头堡。用好新疆区位优势，积极开拓中亚等区域市场，实现更大发展。,必赢足球。

  12月03日,香港特首李家超：对大埔火灾“追责到底”,除了航站楼，跑道数量也是衡量机场规模的重要指标。更多跑道，意味着更多的时刻容量、更高的运行效率。,金沙登录体育,斗球体育app,万博欧冠。

  时事2：百老汇注册网站

  12月03日,海外嘉宾参访重庆文化遗产聚焦传承与合作,据国际网球联合会发布的《2021年全球网球报告》，2021年全球参与网球运动的人口有8718万人，中国以1992万人成为全球网球参与人数排名第二的国家，仅次于美国，占全球总网球人口的22.9%。同时，中国网球场的数量也为全球第二，达49767个。网球教练则以11350人位居全球第五。,九五至尊平台网址,澳门365bet网,有什么二八杠游戏软件。

  12月03日,香港廉署就大埔宏福苑大维修工程贪污调查再拘捕3人,乌鲁木齐不缺国际和地区航线。2024年，乌鲁木齐机场累计运营定期客货运输航线共240条。其中，国际定期客运航线26条，与高加索地区三国与中亚五国实现全部通航，通航中亚航点数量为国内十大枢纽机场之首。,天博体育苹果怎么下载,永利体育在线网,伟德在哪开户。

  时事3：九游会APP安卓

  12月03日,全国大学生科技美术创新设计作品展在津开幕,阿里巴巴向《环球时报》记者提供的数据显示，郑钦文的球拍、潘展乐的泳镜……这些冠军同款装备已登上淘宝热搜，卖爆天猫。其中郑钦文夺冠同款网球拍高居淘宝热搜第一名。自8月3日郑钦文夺冠至8月5日樊振东夺冠，其间超200万人在天猫搜索了“小球”品类相关商品，其中网球相关装备搜索量同比增长300%，“郑钦文同款”专业网球拍V14，48小时内收到了超4万人的问询，超3000人加购，成交量同比暴涨超2000%，成为天猫网球类目成交TOP1商品。不仅如此，就连郑钦文夺冠现场教练穿的“加油服”也火出圈。,完美体育下载入口,kok入口登录,日博体育入口。

  12月03日,《大运河随想》古琴专场音乐会在京上演,兰州机场T1+T2面积8.9万平方米，去年吞吐量超过1700万人次，可以说不堪重负。乌鲁木齐机场T1+T2+T3面积18.48万平方米，需要承载超过2700万人次的吞吐量。,10年信誉九卅娱乐备用网址,大富豪3app下载,银河国际真人游戏。

  时事4：皇冠即时比分

  12月03日,新华鲜报·“十四五”发展亮点|中国“大市场”不一般！内需平均贡献率86.4%,该扩建工程是陕西民航发展的“头号工程”，也是目前西北投资规模最大、建筑体量最大的机场建设工程。,k8真人,hth华体会在线官网,亚洲365bet官网。

  12月03日,“2025从都国际论坛”在广州开幕,公器私用，将地质调查、矿产开发等权力作为敛财纳贿的工具，搞权钱交易，利用职务便利为他人在企业经营、项目承揽、矿权审批等方面谋利，并非法收受巨额财物；,舟山星空棋牌,AOA网站是什么,豪聚棋牌。