猫眼电影记者 克里斯-斯卡莱 报道首次登录送91元红包

机器之心报道

机器之心编辑部

刚刚，Erdos 问题 #124 的一个弱化版本被证明。

这个问题自 1984 年在《算术杂志》上发表的论文 「整数幂集的完备序列」 中提出以来，近 30 年一直悬而未决

证明该问题的是普林斯顿大学数学博士 Boris Alexeev ，使用了来自 Harmonic 的数学 AI 智能体 Aristotle运行了这个问题，智能体最近更新了更强的推理能力和自然语言界面。

关于该问题的一些报道都声称AI独立解决了该问题的完整版本，事实却并非如此，产生了很多争议。Boris Alexeev 为此进行了修正：

在 Formal Conjectures 项目中，该猜想有一个正式声明。不幸的是，该声明中有一个拼写错误，其中注释在显示式方程中显示为 「≥1」 ，而相应的 Lean 声明为 「= 1」。（这使得声明变弱了。）因此，我也修正了这个问题，并包含了对修正后声明的证明。最后，我删除了我认为是不必要的声明方面，Aristotle 也证明了这一点。正如 DesmondWeisenberg 所提到的，存在一个涉及幂次 1（这里对应个位数）的问题，这意味着 [BEGL96] 中的猜想与此不同。我相信 [Er97] 中的版本与这里的陈述相符，部分原因在于它缺少 [BEGL96] 中明显必要的最大公约数条件。我目前无法获取 [Er97e] 来检查其中的陈述。考虑到Aristotle 的成就，这个问题如此微妙，实在不幸！

尽管如此，数学智能体独立地证明了 Erdos 问题#124的较简单版本，仍然表现了令人惊讶的数学证明能力。

Erdos 问题 #124 内容如下图所示，由于该证明存在微妙的错误，目前仍是一个开放问题。

Erdos 问题 #124 链接：https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124

数学 AI 智能体 Aristotle 是一个一个用于自动形式化和形式验证的 API。根据 Harmonic 的介绍，其具备利用 IMO 金牌级引擎解决最复杂的推理问题的能力；可以自动将英语陈述和证明转换为经过验证的 Lean4 证明；能够无缝集成到项目中，自动利用用户的整个定理库和定义、依赖项以及 Mathlib。

Aristotle 链接：https://aristotle.harmonic.fun/

在 Erdos 问题 #124 的讨论中，tsaf 简要介绍了 Aristotle 针对该问题的证明方法，称其「出奇的简单」

有关详细的证明过程，感兴趣的读者可以参考：

https://github.com/plby/lean-proofs/blob/main/ErdosProblems/Erdos124.md

对于 AI 独立进行完整的数学难题的证明，陶哲轩进行了深度的关注。在该问题下，也能看到他的评论。

陶哲轩对于 AI 工具在数学领域的观点仍然一以贯之，他认为像许多其他真实世界中的分布一样，数学中的未解决问题也呈现出典型的「长尾」结构

在数学的未解决问题中有很多没有得到关注的相对容易的问题，借助人工智能的强大自动化能力和推理能力去规模化地尝试攻克这些问题，就会有许多「低垂的果实」唾手可得。

陶哲轩在去年运行 Equational Theories Project 时亲眼见证了这一点。

这个项目攻击了普遍代数中 2200 万个蕴含式。利用简单的自动化方法的最初几轮扫描，在几天内就解决了其中相当大的一部分；随后又使用越来越复杂的方法，逐步攻克那些在早期扫描中顽固抵抗的剩余实例。最后的少数几个蕴含式则花费了数月的人类努力才最终解决。

陶哲轩在这个项目中取得了大规模自动化数学研究的宝贵经验，他以个人日志的形式完整记录了研究的详细过程，方法，结果和个人的思考。

日志链接：https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Terence-Tao's-personal-log

Erdos 问题网站也是类似的例子。该网站目前收录了 1108 个在至少一篇埃尔德什论文中提出过的问题；其中当然包含一些极其困难的经典难题，但也有大量更偏门的问题，甚至连 Erdos 本人都没怎么关注过。

与 Equational Theories 的经验类似，陶哲轩现在也开始采用自动化方法，集中清理掉最底层的「低垂果实」。

几周前，网站上一批仍被标注为未解决的问题突然被划为「已解决」：AI 驱动的文献搜索工具发现，它们的解答其实早已存在于文献中。正在研究这些问题的数学家们也结合使用 AI 工具和形式化证明助手，来用 Lean 验证已有证明、生成这些问题关联的整数序列项，或补全某些方案中缺失的推理步骤。

陶哲轩认为，Erdos 问题#124的证明属于另一类「低垂果实」，是由于描述中的技术性疏漏，而变得意外容易解决的问题。

具体来说，Erdos 问题 #124 在三篇论文中被提出过，但其中两篇漏掉了一个关键假设，导致问题在那两种表述下直接成为一个已知结果（Brown 判别法）的推论。然而，这一点直到 Boris Alexeev 使用 Aristotle 工具处理该问题时才被发现。Aristotle 在数小时内就自主找到并（用 Lean）形式化了该弱化版本的解答。

目前，研究者正系统性地扫描网站上的剩余问题，以寻找更多类似的误述或快速的解决方法。这些努力短期内仍主要集中在「长尾」的最末端。

然而，这已经显示出自动化工具能力的不断增强，并在另一层面上帮助了研究这些问题的人类数学家：通过清除最容易的部分，使真正困难的问题更加清晰地呈现出来。

或许，从 AI 能够独立解决数学问题开始，我们就已站在数学领域深刻变革的边缘。

数学领域 Vibe 证明的时代已经悄然而至。

  时事1：久产久精国九品网页青苹果

  12月10日,宁波舟山港年集装箱吞吐量首破4000万标箱,4月2日，走过86年历史的乌鲁木齐机场迎来更名，“天山机场”取代了沿用已久的“地窝堡机场”。,色酷酷。

  12月10日,湖南开展药品安全突发事件二级应急演练,张先生告诉《环球时报》记者，近年来走入网球馆和网球场的人越来越多，这一现象在郑钦文夺冠后更加明显，其中尤以青少年人群为多。,香草视频WWW在线看,18禁又色又污又黄的网站,国产乱码卡一卡二新区。

  时事2：萌白糖35分钟喷四次免费看

  12月10日,逾200万字《李伯谦文集》郑州首发 中外文明交流互鉴添重要文献,进一步改进工作作风，严格要求自己，求真务实，真抓实干，坚持以人民为中心的创作导向，强化“国家队”意识，努力以优秀作品向着艺术“高峰”不断攀登。,格丽乔的乳液狂飙app,爆操白浆导航,忘忧草一线二线三线。

  12月10日,习近平总书记关切事｜中欧班列通陆达海,近日，西宁曹家堡国际机场三期扩建工程通过竣工验收，为年内投运奠定了基础。,综合自拍视频网站,日本人浓密bbw,给大家科普黄色网站软件。

  时事3：亚洲欧洲国产视频

  12月10日,新疆民间足球赛事出圈 绘就体旅融合“新景”,[环球时报报道 记者 倪浩]8月3日，郑钦文夺得2024巴黎奥运会网球女单冠军，实现中国选手在该项目上的历史性突破，也点燃了民众参与网球运动的热情，网球热度随之大涨。接受《环球时报》记者采访的专家认为，体育明星与体育经济会形成正向反馈：体育明星的示范效应会提振相关体育产业、吸引更多人参与到运动中来，大众的广泛参与则会成为“未来明星运动员”诞生的基石。,婷婷综合五月,精品自拍1页,潢色一级A片处破免费。

  12月10日,“设计大家谈”系列讲座在中国艺研院开启 打造学术交流平台,公器私用，将地质调查、矿产开发等权力作为敛财纳贿的工具，搞权钱交易，利用职务便利为他人在企业经营、项目承揽、矿权审批等方面谋利，并非法收受巨额财物；,免费看裸体🔞🔞🔞美女网站,男人自愈❌的3🔞0种方㊙️法,亚洲囯产毛片AAAAA无费看。

  时事4：野色生活视频网址是什么

  12月10日,日本市场遭遇股债“双杀”,李瀚明进一步分析，西安接近中国的几何中心，这样的地理位置飞国内任何地方都很便利。加上西安产业发达，又是旅游胜地，这些因素让西安国内客流常年处于高位，间接影响了打造国际枢纽的必要性。此外，也是因为接近国内几何中心，西安无论哪个方向的洲际航线，都得使用宽体机。二线枢纽用宽体机飞国际线，往往存在客流不足、上座率不高的情况。,亚洲国产精品图第6页,色妞ww精品视频7777,美女被❌❌羞羞在线观看视频。

  12月10日,以电力为基 绘就雪域乡村振兴新图景,依据有关规定，经中央纪委常委会会议研究并报中共中央批准，决定给予钟自然开除党籍处分；按规定取消其享受的待遇；收缴其违纪违法所得；将其涉嫌犯罪问题移送检察机关依法审查起诉，所涉财物一并移送。,午夜影视国产精品暗香影视,奶头网站,黄色网站免费A片。